Сколько нулей в десятичной записи числа google
Перейти к содержимому

Сколько нулей в десятичной записи числа google

  • автор:

Подсчет нулей в введенном аргументе

Хочу подсчитать количество нулей которые повстречаются, если посчитать от единицы до введенного числа. Например если ввести число 20, то ответ должен быть 2 (по нулю в каждом числе 10 и 20), для 101 ответ 12. Для этого написал такую функцию:

function countZeros(n) < if ((n ^ 0)!==n || nlet result = 0; // Результат let rank = 1; // Номер разряда (начинаем с младших) let low = 0; // Число в младших разрядах (изначально равно 0) let high = n; // Число в старших разрядах (изначально равно n) for (high /= 10; high >= 1;) < if (high % 10 !== 0) < result += Math.floor(((high - 1) * rank) + (low + 1)); >else < result += Math.floor(high * rank); >low += rank * (n % 10); // Увеличиваем число в младших разрядах rank *= 10; // Переходим к следующему разряду high /= 10; // Уменьшаем число в старших разрядах > return result;

Но она считает правильно только если ввести цифры до 109 включительно. Пробовал еще такой вариант:

let counterZeroes = 0; for (i = 10; n/i >= 1; i *= 10) < counterZeroes += Math.floor(n/i); >return counterZeroes; 

Но такая функция считает правильно только до 100.

1. Запись и чтение десятичной дроби

Часто мы встречаемся с дробями со знаменателями \(10\), \(100\), \(1000\) и т. д.
Например, \(1\) г \(=\) 1 1000 кг, \(1\) мм \(=\) 1 10 см, \(4\) см \(3\) мм \(=\) 4 3 10 см и т. д.

Числа со знаменателями \(10\), \(100\), \(1000\) и т. д. договорились записывать без знаменателя.
Для этого знаменатель дроби не пишут, а целую часть и числитель записывают через запятую.

Например, число 4 3 10 записывают \(4,3\) и говорят: «\(4\) целых и \(3\) десятых».
Число 5 19 100 записывают \(5,19\) и говорят: «\(5\) целых и \(19\) сотых».

Если знаменатель дроби имеет вид единицы с нулём (или несколькими нулями), то эту дробь можно записать в виде десятичной дроби .

Для перевода обыкновенной правильной дроби в десятичную дробь сначала пишут \(0\) , потом ставят запятую и после неё записывают числитель.

2. Таблица разрядов

Десятичная дробь, как и любое число, состоит из цифр ( \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) ).

Место каждой цифры в числе важно: оно определяет разряд числа.

Десятичная дробь состоит из целой части (все цифры до запятой) и дробной части (все цифры после запятой).

Целую часть десятичной дроби можно разбить на разряды так же, как и натуральные числа: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.

Дробную часть десятичной дроби разбивают на разряды так:

десятые (в знаменателе обыкновенной дроби \(10\)), сотые (в знаменателе обыкновенной дроби \(100\)), тысячные (в знаменателе обыкновенной дроби \(1000\)) и т. д.

Таблица разрядов

Тысячи Сотни Десятки Единицы , Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные

Таблицу разрядов можно дополнить любым нужным количеством столбцов.

\(1\)-й разряд после запятой — разряд десятых,
\(2\)-й разряд после запятой — разряд сотых,
\(3\)-й разряд после запятой — разряд тысячных,
\(4\) -й разряд после запятой — разряд десятитысячных,
\(5\)-й разряд после запятой — разряд стотысячных,
\(6\)-й разряд после запятой — разряд миллионных,
\(7\)-й разряд после запятой — разряд десятимиллионных,
\(8\)-й разряд после запятой — разряд стомиллионных.

Сколько нулей в конце факториала 100?

Обложка поста Сколько нулей в конце факториала 100?

Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:

100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1

Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.

387 000 х 12 900 = 5 027 131 727

Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:

10 х 10 = 1007 х 20 = 14030 х 400 = 12 000

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует.
Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:

2 х 5 = 105 х 8 = 406 х 15 = 908 х 125 = 1000

Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.

Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».

В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.

8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5)= (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5)= 10 х 10 х 10= 1000

Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.

Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:

692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,

692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).

Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?

Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.

В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?

Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.

Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:

93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Разбор по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *